Seminar Operatoralgebren und Mathematische Physik I

Seminar im Sommer 2024: Operatoralgebren und Mathematische Physik I

Endlich-dimensionale C*-Algebren und endliche Quantensysteme.

Gegenstand dieses Seminars sind die Grundlagen der Theorie der Operatoralgebren und ihrer Anwendungen in der mathematischen Quantenphysik. Wir betrachten dabei sogenannte C*-Algebren \mathcal A, deren selbstadjungierte Elemente die observablen Größen eines Quantensystems beschreiben (zB Ort, Impuls, Spin, lokale Feldstärke), und Zustände auf \mathcal A, dh bestimmte lineare Funktionale \omega:{\mathcal A}\to\mathbb C, die zu Hilbertraum-Darstellungen von \mathcal A und der Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenphysik führen.

Im Interesse eines einführenden Seminars werden wir uns in vielen Vorträgen auf endlichdimensionale Algebren (zB Spinsysteme) beschränken. Vorkenntnisse in Funktionalanalysis sind deshalb nicht notwendig. Da wir die physikalischen Anwendungen parallel zur Theorie entwickeln werden, sind auch keine besonderen Vorkenntnisse in Quantenmechanik erforderlich. Zu der endlichdimensionalen Situation passen insbesondere Anwendungen in der Quanteninformationstheorie, die in einigen Vorträgen thematisiert werden.

Beispiel: Die aus der Linearen Algebra bekannte Menge M_d aller komplexen (d\times d)-Matrizen ist ein Vektorraum und mit dem Matrixprodukt eine assoziative Algebra. Weiterhin haben wir die Operation A\mapsto A^*, die eine Matrix A\in M_d auf ihre konjugiert transponierte (adjungierte) Matrix A^* abbildet. Das Zusammenspiel dieser Eigenschaften macht M_d zu einer {}^*-Algebra.

Das Standardskalarprodukt \langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle auf {\mathbb C}^d induziert dort die Euklidische Norm und damit auf M_d die zugehörige Operatornorm \|A\|=\sup\{\|Av\|\,:\, v\in{\mathbb C}^d,\;\|v\|=1\}. Diese Norm macht M_d zu einem normierten Vektorraum. Da \dim M_d=d^2<\infty, ist M_d bzgl dieser Norm auch vollständig (jede Cauchyfolge konvergiert).

Weiterhin zeigt sich, dass die Operatornorm und die Adjunktion die wesentliche C*-Eigenschaft erfüllen, nämlich \displaystyle \|A^*A\|=\|A\|^2,\qquad A\in M_d.
Damit ist M_d eine C*-Algebra im Sinne der folgenden Definition.

Definition: Eine C*-Algebra ist eine normierte {}^*-Algebra, die die C*-Eigenschaft erfüllt und bzgl. der Norm vollständig ist.

Für d=2 wird M_2 von den Pauli-Matrizen \sigma_j,\;j=0,1,2,3 aufgespannt, was bereits einen Bezug zur Beschreibung von Spin-\frac12-Teilchen andeutet. Zustände auf M_2 nehmen dann die Form A\mapsto\text{Tr}(A\rho) mit einer positiv semidefiniten Matrix \rho mit Spur \text{Tr}(\rho)=1 (Dichtematrix) an. Diese Größen spielen in der Quanteninformationstheorie eine zentrale Rolle.

Beispiele von unendlichdimensionalen C*-Algebren umfassen die Algebra aller beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum, die Algebra aller stetigen Funktionen auf einem kompaktem topologischen Raum, und viele mehr. In diesem Seminar wird der Fokus aber auf den zugänglicheren endlichdimensionalen C*-Algebren liegen.

Ablauf des Seminars

Nach einer einführenden Vorlesung wird das Seminar aus eigenständigen wöchentlichen Vorträgen der TeilnehmerInnen bestehen. Es wird Vorträge zu sowohl rein mathematischen Themen als auch zu Anwendungen in der Physik geben. Das Seminar kann somit als Vorbereitung für weiterführende Vorlesungen in Richtung Operatoralgebren und Mathematischer Physik (z.B. die im Winter 24/25 beginnende Vorlesungsreihe Operatoralgeben und Mathematische Physik, oder die  Einführung in die Operatoralgebren) oder als Vorbereitung für Abschlussarbeiten in Themen mit dieser Ausrichtung dienen.

Einige mögliche Vortragsthemen (eine genauere Beschreibung folgt):

  • Spektraltheorie endlich-dimensionaler C*-Algebren
  • Klassifikation endlich-dimensionaler C*-Algebren
  • Reine und gemischte Zustände, Darstellungen
  • Tomita-Takesaki Modulartheorie endlich-dimensionaler C*-Algebren
  • Wahrscheinlichkeitsinterpretation und Unschärferelationen
  • Verschränkte Zustände und Bell-Korrelation
  • Verschränkungsentropie
  • Positive und vollständig positive Abbildungen
  • Symmetrien, invariante Zustände, Dynamik
  • Kanonische Vertauschungsrelationen und die Weyl-Algebra
  • Grundzustände und KMS-Zustände

Literatur

Hier sind einige thematisch passende Bücher, die einen ersten Eindruck geben. Allerdings gehen diese Bücher weiter als das Seminar; für die einzelnen Vorträge wird es noch detaillierte Literaturhinweise geben.

Teilnahme

Wenn Sie Interesse haben, an diesem Seminar teilzunehmen, schreiben Sie mir eine Email mit folgenden Informationen:

  • Name, Studiengang, Fachsemester
  • Vorkenntnisse in folgenden Vorlesungen? Funktionalanalysis, Spektraltheorie, Quantenmechanik. Diese Abfrage dient nur zu meiner Information. Keine der genannten Vorlesungen ist Voraussetzung für die Seminarteilnahme.
  • Interessensbekundung an einem bestimmten Thema / Richtung

Das Seminar gibt 5 ECTS-Punkte. Für Physikstudierende: Es sollte kein Problem sein, sich diese Punkte auch für Ihr Physikstudium anrechnen zu lassen – klären Sie dies aber besser vorher in der Physik ab.