Seminar Fourier-Analysis

Seminar Einführung in die Fourier-Analysis

Sommersemester 2022

Die Fourier-Analysis (auch: klassische harmonische Analysis) ist ein zentrales Thema der Analysis mit Verbindungen in viele Gebiete der Mathematik und Anwendungen in diversen anderen Disziplinen. In diesem Seminar sollen die wesentlichen Aspekte der Fourier-Analysis in selbstständigen Vorträgen erarbeitet und einige wichtige Anwendungen studiert werden. Das Seminar ist so konzipiert, dass nur die Grundvorlesungen (Analysis und Lineare Algebra) Voraussetzung sind und ab dem 4. Semester teilgenommen werden kann.

Wenn Sie an diesem Seminar teilnehmen möchten, kontaktieren Sie mich bitte per E-mail (siehe Instruktionen unten auf dieser Seite).

Thematischer Überblick

Der erste Themenkomplex beschäftigt sich mit Fourierreihen. Hier geht es um die Frage, periodische Funktionen f:{\mathbb R}\to{\mathbb R} durch Linearkombinationen der speziellen periodischen Funktionen x\mapsto\sin(2\pi kx), x\mapsto\cos(2\pi kx) (mit k\in\mathbb Z) zu approximieren. Meist ist es bequemer, mit komplexwertigen Funktionen f:{\mathbb R}\to {\mathbb C} zu arbeiten und Linearkombinationen von e^{2\pi ikx}=\cos(2\pi kx)+i\sin(2\pi kx) zu betrachten. Wir werden sehen, dass viele (aber nicht alle) periodische Funktionen f durch eine Fourierreihe \displaystyle x\mapsto\sum_{k=-\infty}^\infty a_k\,e^{2\pi ikx} dargestellt werden können. Die Fourierkoeffizienten a_k, k\in\mathbb Z, sind komplexe Zahlen, die sich leicht aus f berechnen lassen und diese Funktion charakterisieren. Wenn man x als eine Zeitvariable auffasst, entspricht eine solche Darstellung von f einer Zerlegung in Frequenzanteile.

Es ergeben sich allerdings Fragen bzgl. der Konvergenz der obigen Reihe. Für welche Funktionen f konvergiert diese Reihe, und in welchem Sinne? (Punktweise? Gleichmäßig? In einem anderen Sinne? Und wenn die Reihe konvergiert, konvergiert sie dann gegen f(x)?) Wir werden verschiedene Aspekte des Konvergenzproblems diskutieren und dabei auch auf das abstrakte Konzept eines Hilbertraums stoßen.

In einigen Vorträgen werden vielfältige Anwendungen von Fourierreihen diskutiert werden, z.B. in der ebenen Geometrie (bei gegebenem Umfang eines Gebietes in {\mathbb R}^2 maximiert eine Kreisscheibe den Flächeninhalt), in der Zahlentheorie (Verteilung der Zahlen \{na\mod 1:n\in{\mathbb N}\} für eine gegebene irrationale Zahl a), in der Lösung von partiellen Differenzialgleichungen (Wellen- und Wärmeleitungsgleichung; dies ist der historische Ursprung der Fourier-Analysis in den Arbeiten von Joesph Fourier), oder in der Analysis (Konstruktion einer stetigen nirgends differenzierbaren Funktion).

Der zweite Themenkomplex ist die Fourier-Transformation. Hier betrachten wir nicht länger periodische, sondern allgemeinere auf ganz \mathbb R definierte Funktionen f. Zu f assoziieren wir die Fouriertransformierte Funktion
\displaystyle\tilde f(k) := \int_{\mathbb R} f(x)\,e^{-2\pi ikx}\,dx.
Im Gegensatz zu den Fourierreihen ist k\in\mathbb R nun eine kontinuierliche Variable und nicht länger auf k\in\mathbb Z beschränkt.

Wir werden zuerst klären, für welche f das obige uneigentliche Riemann-Integral Sinn macht. Für f in geeigneten Funktionenräumen, z.B. dem Schwartz-Raum {\mathscr S}({\mathbb R}), zeigt sich, dass {\mathcal F}:f\mapsto\tilde f wohldefiniert und invertierbar ist. Das heißt, dass die Fouriertransformierte \tilde f alle Information über die Originalfunktion f enthält. Allerdings ist der Zusammenhang zwischen f und \tilde f trickreich, da lokale Eigenschaften von f (wie z.B. Stetigkeit, Differenzierbarkeit) in globale Eigenschaften von \tilde f (z.B. Abfall von |\tilde f(k)| für k\to\pm\infty) übersetzt werden. Während \mathcal F linear ist (Integration ist linear), verhält sich das punktweise Produkt f\cdot g von Funktionen interessanter unter Fourier-Transformation und führt uns auf den Begriff der Faltung von Funktionen.

Anwendungen der Fourier-Transformation gibt es in vielen Gebieten, insbesondere in der Physik. So werden wir z.B. die Heisenbergsche Unschärferelation mit Hilfe der Fourier-Transformation verstehen können und sehen, wie die freie Schrödinger-Gleichung (eine zentrale Gleichung der Quantenmechanik) per Fourier-Transformation gelöst werden kann.

Wenn man versucht, \tilde f für eine periodische Funktion wie z.B. x\mapsto\sin(x) zu berechnen, stößt man auf Probleme: Das uneigentliche Integral \int_{\mathbb R} \sin(x)e^{-2\pi ikx}dx konvergiert nicht im üblichen Sinne, da \sin(x) für x\to\pm\infty nicht abfällt. Das hat damit zu tun, dass diese Funktion „nur eine Frequenz enthält“, und führt uns auf das Konzept von Distributionen. Dies sind in einem gewissen Sinne singuläre Verallgemeinerungen von Funktionen, die mit einer geeigneten Herangehensweise aber immer noch differenziert und Fourier-transformiert werden können. Distributionen sind ein wichtiges Werkzeug in vielen Bereichen der Analysis; wir werden hier einige grundlegende Aspekte und Beispiele von Distributionen erarbeiten.

Das letzte Thema soll eine kurze Einführung in die harmonische Analysis sein. Hier werden wir eine Variante der Fourier-Transformation auf endlichen abelschen Gruppen kennenlernen, die durch Gruppencharaktere formuliert ist und in Numerik und Quanteninformationstheorie wichtige Anwendungen findet. Es zeigt sich, dass diese Transformation genau wie die Fourierreihen und die Fourier-Transformation Spezialfälle einer allgemeineren Theorie von harmonischer Analysis auf gewissen abelschen Gruppen ist.

Literatur

Die Literatur zur Fourier-Analysis ist sehr reichhaltig. Zwei für dieses Seminar geeignete Bücher sind:

Die einführenden Kapitel dieser Bücher können auch als erste Orientierung zur Thematik dienen.

Teilnahme und Verteilung der Vorträge

Das Seminar steht allen Studierenden ab dem 4. Semester offen, die die Grundvorlesungen (Analysis und Lineare Algebra) erfolgreich absolviert haben und an weiterführenden Themen interessiert sind. Die Anzahl der Vorträge ist auf ca. 13-14 begrenzt (ein Vortrag pro Woche). Wenn Sie Interesse haben, teilzunehmen, kontaktieren Sie mich bitte vorab per E-Mail unter gandalf.lechner@fau.de. Bitte beantworten Sie in Ihrer E-Mail folgende Fragen:

  • In welchem Semester und Studiengang sind Sie?
  • Welche Vorlesungen, die über die Analysis- und Lineare Algebra-Zyklen hinausgehen, haben Sie bisher gehört?
  • Gibt es einen Themenbereich, der Sie besonders interessiert? (s.u.)

Mögliche Vortragsthemen

Zu Ihrer Orientierung werden hier einige mögliche Vortragsthemen beschrieben. Wenn Sie über ein anderes passendes Thema vortragen möchten, lassen Sie es mich bitte wissen.

  • Einführung Fourierreihen: Motivation und Einführung der wesentlichen Begriffe – periodische Funktionen, sin, cos und komplexe Exponentialfunktion, Fourierkoeffizienten, Fourierreihen. Beschreibung des Konvergenzproblems für Fourierreihen.
    Literatur:     Stein/Shakarchi Kapitel 1
  • Fourierreihen und Hilberträume: Einführung des Begriffs eines Hilbertraums: Norm, Skalarprodukte. Orthonormalbasen und Bessel’sche Ungleichung. Anwendung auf Fourierreihen.
    Literatur: Deitmar Kapitel 2
  • Konvergenz von Fourierreihen (1-2 Vorträge): Diskussion verschiedener Konvergenzeigenschaften von Fourierreihen – punktweise, gleichmäßige, Cèsaro-, Abel- Summierbarkeit.
    Literatur: Auswahl aus Themen aus Stein/Shakarchi Kapitel 2/3
  • Anwendungen von Fourierreihen (2-3 Vorträge): Mögliche Anwendungen sind die isoperimetrische Ungleichung (Geometrie), Weyl’s Gleichverteilungssatz (Zahlentheorie), oder Anwendungen auf partielle Differenzialgleichungen (Wellen- und Wärmeleitungsgleichung)
    Literatur: Stein/Shakarchi Kapitel 4
  • Einführung Fourier-Transformation (2 Vorträge): Definition und grundlegende Eigenschaften der Fourier-Transformation, Inversionsformel, Plancherel-Formel, Verhalten von Ableitungen, Faltungen
    Literatur: Deitmar Kapitel 3, Stein/Shakarchi Kapitel 5
  • Anwendungen der Fouriertransformation (2 Vorträge): Mögliche Anwendungen sind die Heisenberg’sche Unschärferelation, Differenzialgleichungen (freie Wellen- oder Schrödingergleichung), oder die Radon-Transformation.
    Literatur: Stein/Shakarchi: Auswahl aus Themen aus Kapitel 5, 6
  • Distributionen (2 Vorträge): Begriff einer Distribution, Beispiele. Ableitungen, Faltungen und Fouriertransformation von Distributionen. Anwendungen.
    Literatur: Deitmar Kapitel 4 + weitere Literatur (anspruchsvolleres Thema)
  • Fouriertransformation auf {\mathbb Z}_N: Definition der Fouriertransformation auf endlichen abelschen Gruppen. Allgemeinere Perspektive auf Fourier-Analysis / harmonische Analysis. Möglicherweise Anwendungen auf „Fast Fourier Transform“
    Literatur: Stein/Shakarchi Kapitel 7, Deitmar Kapitel 5