Querschnittsmodulseminar Funktionalanalysis
Seminar im Winter 2024/25: Funktionalanalysis (Querschnittsmodulseminar)
Dieses Seminar baut auf der Vorlesung Funktionalanalysis 1 aus dem Sommersemester 2024 auf. Die TeilnehmerInnen sollen sich weiterführende Aspekte der Funktionalanalysis erarbeiten und in einem Vortrag (inklusive schriftlichem Handout) präsentieren.
Einige mögliche Themengebiete sind unten aufgelistet. Dies sind zumeist Themen, die auch leicht Material für zwei Vorträge bieten. Die Themen haben eine gewisse Bandbreite – manche haben mehr Kontakt zu Analysis, andere zu Topologie, oder zu Hilberträumen, etc. Wenn Sie sich für eines dieser Themen interessieren, lassen Sie es mich bitte per Email wissen. Wenn Sie einen eigenen Vorschlag haben, können wir das auch gerne diskutieren.
Auf der StudOn-Seite https://www.studon.fau.de/crs5910345.html können Sie einsehen, welche Themen noch verfügbar sind.
- Spurklasseoperatoren und Hilbert-Schmidt-Operatoren
Dies sind Unterklassen der Klasse von kompakten Operatoren auf einem Hilbertraum. Die Spurklasseoperatoren sind dadurch ausgezeichnet, dass auf ihnen ein endliches Spurfunktional definiert werden kann, dass die Spur einer Matrix verallgemeinert und eine Spur-Norm definiert, bzgl der die Spurklasseoperatoren einen Banachraum bilden. Hilbert-Schmidt-Operatoren bilden einen Hilbertraum von Operatoren mit einem Skalarprodukt, dass auf Basis dieser Spur definiert ist. Viele Integraloperatoren sind Hilbert-Schmidt oder sogar Spurklasse. - Schatten-Ideale und Approximationszahlen
Kompakte Operatoren sind „fast endlichdimensionale“ Operatoren in dem Sinne, dass sie durch Operatoren mit endlichem Rang approximiert werden können. Betrachtet man statt der Operatornorm die Spurnorm oder die Hilbert-Schmidt-Norm, so ergeben sich die Spurklasse oder die Hilbert-Schmidt-Klasse als der Normabschluss des Raumes der Operatoren von endlichem Rang in diesen Normen. Allgemeiner kann man eine p-Norm einführen, was auf die sogenannten Schatten-Ideale führt. Eng damit verbunden ist der Begriff der Approximationszahl, die misst, wie gut sich ein Operator durch Operatoren von Rang höchstens n approximieren lääst. - Fockräume
In der Funktionalanalysis 1 haben wir den Begriff der direkten Summe und des Tensorproduktes von Hilberträumen kennengelernt. Ein Fockraum über einem gegebenen Hilbertraum \mathcal{H} ist eine unendliche direkte Summe von allen Tensorpotenzen \mathcal{H}^{\otimes n}, ggf in einer symmetrisierten oder antisymmetrisierten Version. Auf jedem Fockraum gibt es interessante Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, die in Anwendungen in der Quantenphysik eine zentrale Rolle spielen. - Hilberträume mit reproduzierendem Kern
Die L^2-Räume der Maßtheorie sind Hilberträume von Äquivalenzklassen von Funktionen, auf denen die Auswertungsfunktionale \delta_x: f\mapsto f(x) üblicherweise nicht wohldefiniert und erst recht nicht beschränkt sind. Hilberträume mit reproduzierendem Kern sind hingegen per Definition Hilberträume von Funktionen (nicht Äquivalenzklassen von Funktionen) auf einer Menge X, so dass die Auswertungsfunktionale \delta_x stetig sind. Sie sind nach dem Lemma von Riesz also durch Vektoren in diesem Raum gegeben, was dann schnell auf eine spezielle Kernfunktion führt, die diesen Hilbertraum definiert. Wichtige Beispiele von Hilberträumen mit reproduzierendem Kern sind Räume von analytischen Funktionen, es gibt aber auch Beispiele aus Statistik und Machine Learning. - Fredholmoperatoren und Fredholm-Index
Ein Fredholm-Operator zwischen zwei Banachräumen ist ein linear Operator mit der Eigenschaft, dass sein Kern endliche Dimension und sein Bild endliche Kodimension hat; dies sind einem gewissen Sinne „fast invertierbare“ Operatoren. Jedem Fredholm-Operator kann ein Index, nämlich die Differenz dieser beiden Dimensionen, zugeordnet werden. In diesem Vortrag soll die grundlegende Theorie der Fredholmoperatoren und ihrer Anwendungen diskutiert werden. - Operator-monotone Funktionen
Eine monotone Funktion f:(a,b)\to\mathbb{R} heißt operator-monoton, falls sie A\leq B\Rightarrow f(A)\leq f(B) (mit Spektrum von A,B in (a,b) erfüllt. Längst nicht jede monotone Funktion ist operator-monoton. Löwner’s Theorem charakterisiert operator-monotone Funktionen mit Hilfe von Methoden aus der Funktionentheorie. - Lokalkonvexe Vektorräume und Distributionen
Ein Banachraum hat eine vergleichsweise einfache, metrische, Topologie, die durch eine Norm definiert ist. Es gibt aber auch topologische Vektorräume, in denen eine Topologie, insbesondere also ein Konvergenzbegriff, nicht durch eine Norm, sondern durch einen ganze Familie von (Halb-)Normen definiert ist. Das prominenteste Beispiel eines solchen sogenannten lokalkonvexen Vektorraums ist der Raum aller Schwartzfunktionen. Distributionen sind lineare Funktionale auf diesem Raum, die stetig bzgl der durch die Halbnormen beschriebenen Topologie ist. Sie finden in sehr vielen Gebieten Anwendungen, zB für Differentialgleichungen und Quantenphysik. - Konvexität
In diesem Vortrag geht es um konvexe Mengen in Vektorräumen und Trennung von konvexen Mengen durch lineare Funktionale. Diese Themen bauen auf dem Satz von Hahn-Banach auf, und haben Anwendungen in verschiedenen Gebieten, die von Operatoralgebren bis zu Optimierungsfragen reichen. - Sobolevräume
Ein Sobolevraum ist ein Banach- oder Hilbertraum von L^p-Funktionen, die in einem verallgemeinerten (schwachen) Sinne differenzierbar sind bis zu einer vorgegebenen Differentiationsordnung. Die genaue Definition erfolgt mittels der Fouriertransformation, die zum Zwecke dieses Vortrags auch etwas wiederholt werden soll. Sobolevräume treten vor allem beim Studium von partiellen Differentialgleichungen auf. - Der Satz von Arzelà-Ascoli
Dieser Satz charakterisiert die kompakten Teilmengen des Banachraums C(X), wobei X ein kompakter metrischer Raum ist. Er hat verschiedene Anwendungen, insbesondere auf kompakte Operatoren. - Ergodentheorie
In der Ergodentheorie werden statistische Eigenschaften von dynamischen Systemen (also Systeme mit einer „Zeitentwicklung“, meist in einem maßtheoretischen Rahmen formuliert) untersucht. Eine zentrale Frage ist, ob Mittelungen in der Zeit mit Mitteln über statistische Ensembles (Integration) übereinstimmen. In diesem Vortrag soll ein Zugang zur Ergodentheorie auf Basis von Hilbertraummethoden vorgestellt werden.