Masterseminar Modulartheorie

Masterseminar Sommer 2025: Tomita-Takesaki Modulartheorie

Di, 12-14 Uhr, Übung 2
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In diesem Seminar werden wir uns die Grundlagen der Tomita-Takesaki Modulartheorie erarbeiten. Dieses Thema gehört einerseits in die Theorie der von Neumann Algebren, wo sie wesentlich zur Strukturanalyse von Typ III Faktoren beiträgt. Andererseits lässt sich Modulartheorie auch in dem konzeptionell einfacheren Rahmen von gewissen reell-linearen Unterräumen von komplexen Hilberträumen (Standard-Unterräumen) definieren, wo sich bereits viele Parallelen zur von Neumann Algebra Situation zeigen. Die Grundidee ist in beiden Situationen gleich: Ausgehend von einer natürlichen antilinearen Involution führt die Polarzerlegung zu einer Einparametergruppe von Automorphismen und einer Konjugation, die die Algebra (den Unterraum) auf ihre Kommutante (sein symplektisches Komplement) abbildet. Anwendungen der Modulartheorie finden sich neben von Neumann Algebren auch in Quantenfeldtheorie (geometrisch-modulare Wirkung, KMS-Zustände) und Darstellungstheorie (Lie-Gruppen, nicht-unimodulare Gruppen).

Zu einer ersten Übersicht über die Thematik empfehlen sich:

Weitere Literatur wird rechtzeitig bereitgestellt. Ein Ergebnis des Seminars kann auch in dem gemeinsamen Verfassen eines Skriptes zu diesem Thema bestehen.

Zielgruppe: Das Seminar steht allen interessierten Studierenden mit den entsprechenden Vorkenntnissen offen. Insbesondere ist es für die Masterstudiengänge der Mathematik geeignet. Falls gewünscht, kann das Seminar auf Englisch abgehalten werden.

Voraussetzungen für die Teilnahme: Funktionalanalysis (insbesondere Hilberträume und Hilbertraumoperatoren), je nach Vortrag auch Operatoralgebren (Grundlagen, von Neumann Algebren, zyklische/separierende Vektoren), lokalkompakte Gruppen (Grundlagen, Haar-Maß), oder Funktionentheorie. Nach einigen grundlegenden Vorträgen gibt es Spielraum bei der Themenwahl.

Mögliche Vortragsthemen (unvollständige Liste):

– Standard-Unterräume und ihre Modulartheorie
– der Standard-Unterraum einer von Neumann Algebra mit Standardvektor und der Satz von Tomita
– die Modulartheorie eines Typ I Faktors bzgl eines normalen Zustands
– Modulartheorie einer nicht-unimodularen Gruppe
– die KMS-Bedingung
– Der Satz von Borchers
– Inklusionen von Standard-Unterräumen, halbseitig-modulare Inklusionen
– Standard-Paare (Standard-Unterräume mit Translationsinvarianz)
– ….