Einführung in die algebraische Quantenfeldtheorie

Vorlesung Sommer 2025: Algebraische Quantenfeldtheorie

Di 10-12 Übung 5, Do 12-14 Übung 2
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Thema dieser Vorlesung ist eine Einführung in die operator-algebraische Quantenfeldtheorie (AQFT). Ausgehend von dem Begriff eines C*-dynamischen Systems (eine C*-Algebra mit einer Einparametergruppe von Automorphismen, die als Zeitentwicklung interpretiert werden können) wird nach und nach die Struktur der AQFT eingeführt: Lokale Unteralgebren und quasilokale Algebren, Kovarianz (Symmetrie unter einer Symmetriegruppe), Spektralbedingungen und Vakuumzustände. Aus mathematischer Sicht handelt es sich bei einer Quantenfeldtheorie um eine Abbildung von den offenen Teilmengen $\mathcal O$ von ${\mathbb R}^d$ in Neumann Algebren ${\mathcal A}({\mathcal O})$ auf einem Darstellungshilbertraum, die einigen Axiomen genügen (Isotonie, Lokalität, Kovarianz) und zu vielen interessanten Fragen führen. Aus physikalischer Sicht liefert eine QFT eine Beschreibung von relativistischen Quantensystemen (Elementarteilchen).

Einige Themen der Vorlesung:

C*-dynamische Systeme und invariante Zustände
quasi-lokale Algebren
Poincaré-Kovarianz und Vakuumzustände (Spektrumsbedingung)
Vergleich mit Wightman-QFT
Strukturanalyse von QFT: TCP und Spin-Statistik-Theorem
Streutheorie und S-Matrix
Beispiele: Freie QFT, integrable Modelle, Grundzüge von polynomiellen Wechselwirkungen in zwei Dimensionen
ggf. geometrisch-modulare Wirkung
ggf. Verschränkungseigenschaften des Vakuums

Zielgruppe: Die Vorlesung ist sowohl für Mathematik- als auch Physikstudierende geeignet, wenn die entsprechenden mathematischen Voraussetzungen mitgebracht werden (s.u.). Es werden keine Vorkenntnisse in Physik vorausgesetzt, insbesondere ist die Vorlesung für die Masterstudiengänge der Mathematik geeignet.

Vorausgesetzte Vorkenntnisse: Funktionalanalysis (insbesondere Hilberträume und Hilbertraumoperatoren), Grundlagen von Operatoralgebren. Diese Vorkenntnisse können auch durch Parallelbesuch der Operatoralgebra-Vorlesung oder durch Studium des Funktionalanalysis 2 Skriptes erworben werden.

Literatur: Es wird ein Skript bereitgestellt. Einige relevante Bücher sind

Araki: The Mathematical Theory of Quantum Fields
Bratteli/Robinson: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics
Haag: Local Quantum Physics. Fields, Particles, Algebras.
Horuzhy: Introduction to Algebraic Quantum Field Theory
Brunetti, Dappiaggi, Fredenhagen, Yngvason: Advances in Algebraic Quantum Field Theory
Borchers: Translation Group and Particle Representations in Quantum Field Theory