Besov Regularität von parabolischen partiellen Differentialgleichungen auf Lipschitz-Gebieten

Teilnehmer

AM3

• Cornelia Schneider

Marburg

• S. Dahlke

Parabolische Differentialgleichungen beschreiben verschiedene Diffusionsprozesse in Natur und Technik, z.B. die Wärmeausbreitung in einem Medium. Resultate bezüglich Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen sind bekannt. Jedoch ist ein analytischer Ausdruck der Lösung in vielen Fällen nicht vorhanden, so dass numerische Algorithmen benötigt werden, um die unbekannte Lösung bis zu einem gewissen Grad zu approximieren. Bei der Behandlung realistischer Probleme führt dies auf Systeme mit Tausenden oder gar Millionen von Unbekannten. Zur Steigerung der Effizienz ist man daher geneigt, adaptive Verfahren zu verwenden, bei denen die Freiheitsgrade sich stückweise der Lösung anpassen, indem mehr Freiheitsgrade in Gebieten verwendet werden, wo der Fehler zur eigentlichen Lösung immer noch groß ist.

In diesem Projekt beschäftigen wir uns hauptsächlich mit Approximationsalgorithmen basierend auf Wavelets. Es ist bekannt, dass in vielen Fällen die erreichbare Konvergenzordnung von adaptiven Wavelet-Verfahren von der Regularität der Lösung in speziellen Skalen von Besov Räumen abhängt. Andererseits bestimmt die Regularität der Lösung in Sobolev Räumen die Konvergenzrate von nicht adaptiven (uniformen) Algorithmen.

Um den Nutzen von adaptiven Verfahren zu belegen, ist es daher notwendig, die Regularität der Lösung in der Skala von Besov Räumen zu bestimmen und mit der Sobolev Regularität zu vergleichen. Für elliptische Probleme gibt es bereits viele positive Resultate in dieser Richtung. Falls das betrachtete Gebiet, die rechte Seite und die Koeffizienten hinreichend glatt sind, so ist das Problem regulär und es gibt keinen Grund, warum die Besov Regularität höher sein sollte als die Sobolev Regularität. Jedoch ändert sich die Situation drastisch auf Lipschitz Gebieten: hier zahlen sich adaptive Verfahren gegenüber nicht adaptiven Verfahren deutlich aus, denn die auftretenden Ecken und Kanten des Gebietes (z.B. im polyhedralen Kegel im Bild) führen zu starken Singularitäten in der Lösung, welche die Sobolev Regularität signifikant senken.

Ziel des Projektes ist es, die Situation für die mathematisch schwieriger zu behandelnden parabolischen Probleme zu untersuchen und auch hier den Nutzten adaptiver Verfahren zu belegen.