Forschung

Forschungsinteressen

Regularitätstheorie partieller Differentialgleichungen

Meine Forschung wird motiviert durch die folgende Grundsatzfrage: In welchen Fällen bieten adaptive numerische Algorithmen tatsächlich Vorteile gegenüber nicht-adaptiven (uniformen) Verfahren? Die Konvergenzordnung nicht-adaptiver Verfahren wird im Allgemeinen durch die Regularität der exakten Lösung der zu Grunde liegenden Gleichung in der klassischen Sobolev-Skala bestimmt. Eine theoretische Analyse zeigt nun, dass im Gegensatz dazu die erzielbare Approximationsordnung für adaptive Verfahren durch die Regularität in nichtklassischen Glattheitsräumen, den Besov-Räumen, bestimmt wird. Um also sicherzustellen, dass für ein gegebenes Problem adaptive Verfahren hilfreich sein können, muss die Besov-Regularität der exakten Lösung untersucht werden.

Die Forschungsschwerpunkte sind derzeit:

  • Regularitätstheorie für nichtlineare elliptische Gleichungen
  • Regularitätstheorie für (nichtlineare) parabolische Gleichungen
  • Regularitätstheorie für elliptische Gleichungen auf Mannigfaltigkeiten
  • Regularitätstheorie für hyperbolische Gleichungen

Adaptive Verfahren für parabolische Probleme

Das Ziel ist die Übertragung der bereits existierenden adaptiven Strategie für elliptische Probleme auf den Fall parabolischer Gleichungen. Hierzu muss eine geeignete Schrittweitensteuerung in Zeitrichtung entwickelt werden. In jedem Zeitschritt kann dann auf den bereits vorhandenen voll adaptiven elliptischen Löser im Ortsraum zurückgegriffen werden.

Funktionenräume

Im Bereich der Funktionenräume interessiere ich mich insbesondere für (verallgemeinerte) Besov- und Sobolev-Räume. Typische Probleme die in diesem Kontext auftreten und untersucht werden sind verschiedene Zugänge und Charakterisierungen der Räume, ihre Zusammenhänge und Unterschiede sowie Einbettungen zwischen den verschiedenen Skalen und Spuren.

Schwerpunkte:

  • Besov-, Sobolev- und Triebel-Lizorkin Räume
  • Kondratiev Räume (gewichtete Sobolev-Räume)
  • Glattheits-Morrey-Räume
  • Funktionenräume mit variablen Exponenten
  • Charakterisierungen (z.B. über Atome, Wavelets, höhere Differenzen)
  • Einbettungen, Spuren

Projekte

  • Besov Regularität von parabolischen partiellen Differentialgleichungen auf Lipschitz Gebieten (Fortsetzung)


    (Drittmittelfinanzierte Einzelförderung)
    Laufzeit: 01-04-2020 - 30-09-2021
    Mittelgeber: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG)
    Abstract
    In diesem Projekt sollen partielle Differentialgleichungen (=DGLen) parabolischen Typs auf beschränkten Lipschitz Gebieten untersucht werden. Wir wollen insbesondere den Nutzen von adaptiven numerischen Methoden zur Behandlung von solchen Gleichungen belegen. In adaptiven Verfahren ist die Wahl der zugrunde liegenden Freiheitsgrade nicht a priori festgelegt, sondern hängt von der Gestalt der unbekannten Lösung ab. Zusätzliche Freiheitsgrade werden nur dort verwendet, wo die numerische Approximation noch sehr weit von der tatsächlichen Lösung abweicht. Optimal für ein adaptives Verfahren wäre das Realisieren der Konvergenzrate der besten N-term Approximation (beste Approximation der Lösung mittels Linearkombinationen von höchstens N Basisfunktionen). Diese Konvergenzordnung hängt eng mit der Regularität der Lösung in speziellen Skalen von Besovräumen zusammen. Unser Ziel ist daher die Untersuchung der Besovregularität von Lösungen parabolischer DGLen, welche uns Aufschluss darüber gibt, ob sich adaptive Verfahren tatsächlich auszahlen. Im ersten Finanzierungszeitraum des Projektes konnte gezeigt werden, dass sich Adaptivität für sehr allgemeine Klassen von linearen und nichtlinearen parabolischen DGLen auszahlt. Noch bessere Regularitätsergebnisse erhielten wir für polyhedrale Kegel (statt allgemeiner Lipschitz Gebiete). Während der Fortsetzung des Projektes sollen diese Ergebnisse nun verbessert und weiter ausgebaut werden. Die Resultate für Kegel wollen wir auf allgemeine polyhedrale Gebiete verallgemeinern. Darüber hinaus gelten die nichtlinearen Ergebnisse zur Besovregularität bisher nur für konvexe Gebiete. Da nicht-konvexe Gebiete aus numerischer Sicht besonders interessant sind, ist es unser Ziel hier analoge Aussagen zu zeigen. Auch soll nun die Regularität der Lösungen in Sobolevräumen mit gebrochener Glattheit untersuchet werden, insbesondere auch für stochastische parabolische DGLen, welche uns Erkenntnisse über die mögliche Konvergenzordnung nicht-adaptiver Verfahren liefert. Des Weiteren wollen wir Besov Regularität von DGLen auf allgemeinen Mannigfaltigkeiten (z.B. Oberflächen von Seifenfilmen) studieren. Einen neuen Aspekt stellt die Untersuchung von Approximationsklassen von parabolischen DGLen dar. Ziel ist hier eine Konvergenzanalyse der horizontalen Linienmethode (Rothe-Methode), wenn die Zeitdiskretisierung über ein Galerkin-Verfahren erfolgt.Statt eines Zeitschritt-Verfahrens (wie oben beschrieben) kann man zur numerischen Lösung der parabolischen DGLen auch ein (effizienteres) voll-adaptives Verfahren basierend auf Tensor-Wavelets benutzen. Die hieraus resultierende Konvergenzordnung ist dann unabhängig von der Raumdimension und hängt von der Regularität der Lösung in speziellen Tensor-Produkt-Besovräumen ab. Wir werden systematisch untersuchen, wie sich die Regularität der Lösung in diesen komplizierten Räumen mit gemischter Glattheit verhält.

  • Besov Regularität von parabolischen partiellen Differentialgleichungen auf Lipschitz Gebieten


    (Drittmittelfinanzierte Einzelförderung)
    Laufzeit: 01-04-2017 - 31-03-2019
    Mittelgeber: DFG-Einzelförderung / Sachbeihilfe (EIN-SBH)
    Abstract
    Das Vorhaben beschäftigt sich mit der Regularitätstheorie parabolischer partieller Differentialgleichungen (PDEs) auf Lipschitzgebieten. Ziel ist es, die Regularität der Lösungen solcher Gleichungen in bestimmten Skalen von Besov-Räumen zu untersuchen, welche die Approximationsordnung von adaptiven und anderen nichtlinearen Approximationsmethoden bestimmen. Es soll gezeigt werden, dass die Besov-Regularität in den zu untersuchenden Fällen groß genug ist um den Einsatz von adaptiven Verfahren (verglichen mit nicht-adaptiven Verfahren) zu rechtfertigen. Wir beschäftigen uns hierbei hauptsächlich mit Approximationsmethoden basierend auf Wavelets.

    Startpunkt ist die Verbesserung bereits bekannter Resultate für die Wärmeleitungsgleichung, welche wir anschließend erweitern wollen auf lineare parabolische PDEs mit variablen Koeffizienten sowie nichtlineare parabolische PDEs. Es soll außerdem gezeigt werden, dass bei Einschränkung der allgemeinen Lipschitzgebiete auf Polygone und Polyeder eine noch höhere Besov-Regularität erreicht werden kann.
    Da die auf diese Weise erhaltenen Konvergenzraten noch abhängig von der Raumdimension sind, soll in einem weiteren Teil die Regularität der parabolischen PDEs in verallgemeinerten Funktionenräumen mit dominierenden gemischten Glattheitseigenschaften untersucht werden. Indem man nun Tensorwavelets benutzt erhält man auf diese Weise Konvergenzraten, welche unabhängig von der Dimension des zugrundeliegenden Gebietes sind.