PDE-restringierte Optimierung

OPAL – Optimierung von Airlay Prozessen (2013-2016)

Der industrielle Prozess der Herstellung von Wirrvliesen wird untersucht und optimiert.

Das Projekt OPAL, bestehend aus fünf Teilprojekten, die an der FAU Erlangen, TU Kaiserslautern und am Fraunhofer ITWM angesiedelt sind, untersucht den industriellen Prozess der Herstellung von Wirrvliesen. Hierbei werden die unterschiedlichen Phasen vom Flug einzelner Fasern in turbulenter Luftströmung über das Ablegen auf einer Rampe loser Fasern bis hin zur thermischen Verfestigung der Fasermatte, wobei durch Erhitzen die Fasern an Berührpunkten verschmelzen und zusammenkleben, betrachtet. Dieses Teilprojekt beschäftigt sich mit der hierbei entstehenden Mikrostruktur, deren mechanischen Eigenschaften und ihrer Optimierung.

Die innere Struktur dieser so entstehenden Fasernetze bestimmt effektive mechanische Eigenschaften des Wirrvlieses. Auf der Mikroskala müssen hierbei stochastische Netzwerke dünner Fasern behandelt werden, was Modellierung und Simulation gleichermaßen einschließt. Einzelne Fasern werden durch verschiedene Balkenmodelle beschrieben: lineare Timoshenko-Balken und geometrisch exakte Balken, die beide unter die schubweichen Theorien zu zählen sind, jedoch hinsichtlich mathematischer Komplexität stark unterschiedlich sind. Um aus der Mikrostruktur effektive Eigenschaften berechnen zu können werden zwei Strategien verfolgt: direkte numerische Simulation eines kleinen repräsentativen Ausschnitts des Vlieses (representative volume element, RVE) und Homogenisierung, was bedeutet, dass die unterliegende stochastische Mikrostruktur zugunsten eines anderen, eines homogenisierten, Modells fallengelassen wird.

Schließlich soll das Vlies bezüglich seiner mechanischen Eigenschaften, beispielsweise Steifigkeit, Dämmverhalten etc., optimiert werden. Dies kann mit theoretischen Überlegungen getan werden, bei denen

die Mikrostruktur des Vlieses durch freies Verschieben von Faserkontaktpunkten optimiert wird. Diese so optimierten Strukturen definieren eine theoretische obere Schranke, wie gut ein real gefertigtes Produkt sein kann, da hierbei zwangsläufig der ganze Ablageprozess berücksichtigt werden muss. Um nun näher an dieses Szenario zu rücken, müssen Ordnungsparameter von stochastischen Fasernetzen identifiert werden, die maßgeblich das makroskopische Verhalten bestimmen, so dass der industrielle Prozess entsprechend in die Nähe optimaler Parametersätze gesteuert werden kann.

Industriepartner: AUTEFA Solutions, IDEAL Automotive GmbH

Prof. Dr. Günter Leugering (Erlangen), Dipl.-Technomath. Christoph Strohmeyer (Erlangen)

Formoptimierung von Nanoantennen (2012-heute)

Das Ziel dieses Projekts ist die Anwendung der Formoptimierung auf Nanoantennen und nanooptischen Schaltungen, um deren Effizienz zu erhöhen. Durch Versuche lässt sich bestätigen, dass die Effizienz durch die Form beeinflusst wird.

Optische Nanoantennen sind an Wellenleitern angebracht, um einen anregenden Laserstrahl in einen nanooptische Schaltung einzukoppeln. Durch Versuche kann man sehen, dass die Form einer Nanoantenne die Effizienz beeinflusst. In diesem Fall bedeutet Effizienz das Verhältnis zwischen der Energie des Laserstrahls und übertragener Energie im Wellenleiter. Licht wird durch elektrische und magnetische Felder beschrieben, und ihre Ausbreitung wird durch die Maxwell-Gleichung modelliert. Unter der Annahme zeitharmonischer Felder, kann die Maxwell-Gleichung auf ihre zeitharmonischen Darstellung reduziert werden.
Das Ziel dieses Projektes ist die Anwendung der Formoptimierung auf Nanoantennen und nanooptischen Schaltungen, um deren Effizienz zu steigern. Formoptimierung ist ein Bereich der kontinuierlichen Optimierung, die die Minimierung bzw. Maximierung einer Zielfunktion durch Variation der Form behandelt. Ferner hängt die Zielfunktion von der Lösung einer partiellen Differentialgleichung ab. Da der einfallende Laser als zeitharmisch angenommen wird, wird die zeitharmonischen Maxwell-Gleichung zugrunde gelegt.

Optimization of iron oxide Pigments (2012-2017)

The dependency of the optical properties of a pigment film and the shape or shape distribution of the pigment is studied within this project. Further, this dependency is used to identify regions in parameterized shape space which will lead to better color values of the pigment.

The interaction of electromagnetic waves and material is mathematically described by Maxwell’s equations. Under the assumption of a time-harmonic incident light – which holds in the studied regime – this equations can be transformed to the well known curl-curl formulation of Maxwell’s equation.
This complex vector valued equation can be solved numerically in 3D with the Nédélec FEM but, due to the high resolution one needs, it is only possible for single particles or small clusters of particles. The size of the pigment particles is in the sub micron range and the wavelength range we are interested in is 400 to 700 nm. In order to derive optical properties of a film with randomly oriented particles from single particle simulations we use a model which lies in-between the 2-Flux model derived by Kubelka and Munk and the radiative transfer equation.
With this method we are able to compute the reflectance spectra of a pigment color film with a known particle size distribution. These computed spectra show a good agreement with experimental data.
The project is funded by the DFG and the LANXESS GmbH

LeOpIn – Lebenszyklusoptimierung (2010-2013)

Das Projekt LeOpIn (Lebenszyklusoptimierung für eine ressourcen- und energieeffiziente Infrastruktur) beschäftigt sich mit der Planung energieeffizienter Bürogebäude und Rohrleitungssysteme in Kraftwerken.

Details

LeOpIn setzt sich aus sechs Teilprojekten zusammen, von denen drei am Lehrstuhl für Angewandte Mathematik 2 angesiedelt sind. In der Planungsphase von größeren Bauprojekten werden üblicherweise nur Investitionskosten betrachtet. In der vorliegenden Machbarkeitsstudie hingegen wurde der gesamte Lebenszyklus von Gebäuden/Rohrleitungen in die optimale Planung mit einbezogen, um Aspekte wie akkumulierter CO2-Ausstoß und Nachhaltigkeit sehr viel stärker in die Entscheidungsfindung zu integrieren.

Der Projektaufbau lässt sich am Fallbeispiel der Hochdruckrohrleitungen verdeutlichen: Nach einer physikalischen Feinmodellierung des Systems müssen die beschreibenden Modelle mit Hilfe modellreduktiver Verfahren für eine anschließende Optimierung aufbereitet werden. Bei der Feinmodellierung von Hochdruckrohrleitungen gilt es neben Erfassung von Statik und Dynamik von Stahlrohren auch das Langzeit-Materialverhalten zu beschreiben. Hierzu werden verschiedene Balkenmodelle, welche dünne eindimensionale Strukturen beschreiben, mit unterschiedlichen Materialmodellen, wie Thermoelastizität, Plastizität und Kriechschädigung, gekoppelt. Die entstehenden hochgradig nichtlinearen partiellen Differenzialgleichungen können mithilfe numerischer Verfahren am Computer gelöst werden.
Die zuvor entwickelten hochauflösenden physikalischen Modelle sind auf Grund ihrer großen Komplexität sehr häufig extrem rechenintensiv. Eine Optimierung basierend auf diesen Modellen ist für den Planungsbetrieb deshalb nicht praktikabel. Um eine Optimierung im Planungsprozess zu ermöglichen wird mit Hilfe von Modellreduktionsverfahren wie Proper Orthogonal Decomposition ein niedrigdimensionales reduziertes Modell entwickelt. Dabei wird die Netzwerkstruktur der Rohrleitung durch einen neu entwickelten Algorithmus effizient ausgenutzt und ein effektives Gesamtmodell erstellt.
Aufbauend auf der Modellierung und Modellreduktion des Problems wurde ein flexibles und schnelles gradientenbasiertes Strukturoptimierungstool geschaffen. Hierbei ist das Ziel, eine optimale Auswahl von Materialien und Komponenten hinsichtlich wirtschaftlicher und ökologischer Kriterien zu treffen. Im Anwendungsszenario Hochdruck-Rohrleitungen waren beispielsweise Stahlsorte und Durchmesser der Rohrelemente sowie Biegeradius und Winkel der Biegungen Gegenstand der Optimierung.

Das Beispiel der Bürogebäude lässt sich auf ähnliche Weise behandeln – mathematisch gesehen lassen sich beide physikalischen Systeme als Graphen darstellen. Dadurch besteht die Möglichkeit, die Methoden der Modellreduktion sowie die Optimierungsalgorithmen auch für die Planung und Optimierung von Gebäuden zu verwenden. Allein das zugrunde liegende physikalische Modell muss separat entwickelt werden.

Industriepartner: Bilfinger SE

Modellbasierte Steuerung der Bandform bei Warmwalzprozessen (2010-2013)

Überflüssige Produktionskosten bei Warmwalzprozessen sollen minimiert werden indem ein Optimalsteuerungsproblem gelöst wird, bei dem die Trajektorien der Walzen als Steuerungsvariablen dienen.\

Wir betrachten Warmwalzprozesse, bei denen ein metallischer Festkörper von mehreren Walzen verformt wird um eine gewünschte Endform zu erhalten. Um den Verschnitt zu minimieren und gleichzeitig auch sicherzustellen, dass diese Form die vorgegebenen Toleranzen möglichst genau erfüllt, formulieren wir ein Optimalsteuerungsproblem, in dem uns die Trajektorien der Walzen als Steuerungsfunktionen dienen. Die zugehörigen Nebenbedingungen, die die zulässige Menge des Problems definieren, ergeben sich aus industriellen Spezifikationen und technischen Restriktionen.
 Die Bewegung und Deformation eines Festkörpers unter dem Einfluss externer Kräfte wird durch die Grundgleichungen der nichtlinearen Kontinuumsmechanik beschrieben, die hier mit einem elasto-viskoplastischen Materialmodell gekoppelt sind. Dieses Modell beruht auf einer multiplikativen Aufspaltung des Deformationsgradienten in elastische und plastische Anteile und legt das Verhalten von Metallen bei hohen Temperaturen und hohen Umformraten fest. Da wir außerdem annehmen, dass die Deformationen der Walzen vernachlässigt werden können, müssen wir noch unilaterale, reibungsbehaftete Kontaktrandbedingungen berücksichtigen und erhalten somit eine zeitabhängige Quasi-Variationsinklusion als schwache Form des Zustandsproblems.
Bekanntermaßen ist der zugehörige Steuerungs-Beobachtungs-Operator aufgrund von Zustandsänderungen zwischen elastischem und plastischem Materialverhalten, Kontakt und Separation sowie Haften und Gleiten nicht differenzierbar.

Dennoch wollen wir gradientenbasierte Verfahren verwenden um das obige Optimalsteuerungsproblem zu lösen und müssen deshalb Ableitungen von Kostenfunktion und Nebenbedingungen berechnen. Um diese Unstimmigkeit zu beseitigen, regularisieren wir zunächst sämtliche Nichtdifferenzierbarkeiten und wenden dann die Direct Differentiation Methode an um Sensitivitätsinformationen für das regularisierte Zustandsproblem zu erhalten.

Steuerung von Gas- und Wassernetzwerken (2009-2012)

Wir beschäftigen uns mit dem Fluss in Gas- und Wassernetzwerken, der durch die isothermen Euler-Gleichungen bzw. die Saint-Venant-Gleichungen (Flachwassergleichungen) modelliert wird. Dabei untersuchen wir Fragen der (optimalen) Steuerbarkeit und Stabilisierung dieser Systeme sowie die numerische Umsetzung der analytischen Resultate. Der Gasstrom durch Röhren kann mittels Kompressoren und Ventilen gesteuert werden, der Wasserfluss in Kanälen mit Hilfe von Wehren und Pumpen. Auf dem Bild ist ein Ausschnitt einer Kompressoranlage zu sehen (Quelle: WINGAS). Dieses Projekt ist ein Gemeinschaftsprojekt der RWTH Aachen und der Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg im Rahmen des DFG Schwerpunktprogramms 1253.

Prozessoptimierung in der Partikelsynthese

Bei der wirtschaftlichen Herstellung disperser Produkte im Nanometerbereich stellt die Erfüllung spezieller Vorgaben aus den Anwendungen eine große Herausforderung dar. Die verschiedenen verfahrenstechnischen Prozesse können aus mathematischer Sicht auf einheitliche Weise beschrieben werden. Die Simulation der zeitlichen Evolution der Verfahren erfolgt mittels nichtlinearer hyperbolischer Integro-Differentialgleichungen mit dem Ziel praxisrelevante Fragestellungen systematisch im Modell zu analysieren.Das vorliegende Projekt setzt es sich zum Ziel über die Simulation hinaus, effiziente Methoden und Algorithmen zur Prozessoptimierung zu entwickeln, um die von der Industrie geforderten Produkteigenschaften auf ökonomische Weise zu gewährleisten. Eine effiziente Herangehensweise erfolgt in enger Zusammenarbeit mit dem beteiligten Projektpartner aus dem Chemieingenieurwesen.
Im Fokus dieser Studie stehen zwei Modellprozesse,eine Fällungsreaktion sowie ein innovativer Aerosolprozess, dessen spezieller Aufbau die exakte Kontrolle der Aufenthaltszeit und Temperatur im Reaktor erlaubt. Dieses vielversprechende Verfahren erlaubt die an ein spezifisches Anforderungsspektrum angepasste Produktion von Partikeln höchster Qualität. Aufgrund der enormen Komplexität der Fragestellung wird eine hierarchisch gegliederte Modellreduktion angestrebt und mittels moderner mathematischer Methoden gelöst. Zur Validierung der gewonnen Resultate stehen experimentelle Daten zur Verfügung.

Multiskalen-Optimierung eines Verbundwerkstoffes bzgl. des Widerstands gegen Rissausbreitung

Das Projekt umfasst einerseits die Entwicklung einer effizienten Simulationsmethode für Rissausbreitung, welche verschiedene Phänomene, wie Rissabknicken oder Rissverzweigung behandeln kann und auch kohäsive Effekte mit berücksichtigt. Dazu wird das Rissproblem als Energieminimierungsproblem formuliert und mathematisch im Detail untersucht.

Ziel des Projektes ist die optimal Bestimmung von unterschiedlichen Parametern eines Verbundstoffes, so dass dieser gewünschte Eigenschaften bzgl. der Rissausbreitung aufweist. Zunächst wird die Rissausbreitung auf der Mikroskala betrachtet, welche von Parametern der Mikroskala selbst aber auch der atomaren Skala (Kohäsivgesetze) beeinflusst werden kann. Das Projekt umfasst einerseits die Entwicklung einer effizienten Simulationsmethode für Rissausbreitung, welche verschiedene Phänomene, wie Rissabknicken oder Rissverzweigung behandeln kann und auch kohäsive Effekte mit berücksichtigt. Dazu wird das Rissproblem als Energieminimierungsproblem formuliert und mathematisch im Detail untersucht. Andererseits werden auch Optimierungsprobleme, die z.B. die Optimierung von Faserformen beinhalten, aufgestellt und numerisch gelöst. Später werden Homogenisierungstechniken den Übergang zur Makroskala erlauben, so dass die Anwendung von Multilevel-Optimierung über drei Skalen hinweg angestrebt werden kann.