Forschung

Forschung am Department Mathematik

Das Department Mathematik wurde im Zuge der Neustrukturierung der Fakultäten im Jahre 2007 aus zwei Instituten zusammengeführt. Seit 2021 bildet das Department Mathematik zusammen mit dem neuen Department Data Science eine gemeinsame Lehreinheit. Das Forschungsprofil des Departments Mathematik wird einerseits in der Darstellungstheorie und der Analysis der großen Erlanger Mathematiktradition gerecht und schlägt andererseits in der Modellierung, der Stochastik, der Numerik und der Optimierung die Brücke zu den naturwissenschaftlichen, technischen, lebenswissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungsgebieten.

Forschungsbereich: Analysis, Modellierung und Numerik

Prägend für den Bereich Analysis, Modellierung und Numerik ist das Wechselspiel zwischen mathematischer Grundlagenforschung einerseits und interdisziplinären wie intersektoralen Forschungskooperationen andererseits – meist im Kontext partieller Differentialgleichungen (PDG) oder variationeller Probleme. Schwerpunkt ist die rigorose mathematische Modellierung, Analysis und Simulation von Phänomenen aus den Anwendungswissenschaften, die auf deterministische und stochastische Systeme gekoppelt partieller (oder gewöhnlicher) Differentialgleichungen führen. Prominente Beispiele stammen aus der Hydrodynamik: Strömungen mit unterschiedlichen Phasen, mit Mikrostruktur (E. Wiedemann, E. Bänsch, G. Grün), in Wechselwirkung mit Festkörpern oder in komplexen Medien. Darüber hinaus wird für Festkörper insbesondere elastisches Verhalten sowie mögliche Rissausbildung untersucht (M. Friedrich). Analytisch untersucht werden Existenz, Eindeutigkeit und qualitatives Verhalten von Lösungen, nicht zuletzt mit der Zielsetzung einer Validierung der zugrundeliegenden Modelle. In der Numerik werden die Grundlagen für die effiziente, computergestützte Berechnung von Näherungslösungen zu partiellen Differentialgleichungen oder Variationsproblemen gelegt. Dazu zählen sowohl Fragen der Diskretisierung (Finite-Volumen-, Finite-Elemente- oder Discontinuous-Galerkin-Verfahren), die rigorose Analyse von Konvergenzeigenschaften als auch die Entwicklung und Implementierung leistungsfähiger Softwarepakete (Navier, Femlisp, Image, Richy, EconDrop3D, HyPHM, FESTUNG, UTBEST3D). In Zukunft werden Methoden des Hochleistungsrechnens (HPC) verstärkt Eingang nehmen in Simulationsrechnungen der häufig hochdimensionalen PDG-Systeme, wie sie bei der Diskretisierung von Multiskalenproblemen oder stochastischen partiellen Differentialgleichungen auftreten. Grenzflächenphänomene, insbesondere auf kleinen Längenskalen, und Fluid-Struktur-Wechselwirkungen führen auf mathematisch interessante Fragestellungen, die nicht zuletzt aufgrund ihrer hohen Relevanz in Lebens- und Ingenieurwissenschaften in den Fokus der Forschung des Bereichs Analysis, Modellierung und Numerik rücken.

Forschungsbereich: Darstellungstheorie und Operatoralgebren

Die Darstellungstheorie bildet einen international sichtbaren Schwerpunkt der Grundlagenforschung am Department Mathematik. Sie ist in Erlangen in außergewöhnlicher Breite repräsentiert: Darstellungen von Lie-Algebren und modulare Darstellungstheorie (P. Fiebig), Invariantentheorie und algebraische Gruppen (F. Knop), unitäre Darstellungstheorie und Lie- Gruppen (K.-H. Neeb), Darstellungen von Quantengruppen und hyperbolische Geometrie (C. Meusburger), und Zopfgruppendarstellungen (G. Lechner). Die Erlanger Darstellungstheorie deckt sowohl algebraische, geometrische als auch analytische Aspekte ab und ist darin im deutschlandweiten Vergleich einzigartig. Diese breite Aufstellung ermöglicht vielfache Anknüpfungspunkte zu Forschungsthemen innerhalb und außerhalb der Mathematik. Dieser thematische Schwerpunkt wird auf natürliche Weise von den Forschungsgebieten von, G. Lechner und H. Schulz-Baldes ergänzt, die von der klassischen Mechanik bis zur Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie reichen und Anwendungen von operatortheoretischen und differentialtopologischen Techniken in Himmelsmechanik und Festkörperphysik beinhalten. Viele dieser Themen haben auch eine starke Verbindung zu Operatoralgebren, zum Beispiel bilden von Neumann Algebren die natürliche Sprache der unitären Darstellungstheorie und der lokalen Quantenfeldtheorie. Derzeit sind auch die Stochastik und die dynamischen Systeme (C. Richard) ein wesentlicher, wissenschaftlich aktiver und international sichtbarer Teil des Bereichs Darstellungstheorie und Operatoralgebren. Diese Forschungsthemen sind auf natürliche Weise in den Fakultätsforschungsschwerpunkt ‚the physics and the mathematics of the cosmos‘ eingebunden und werden durch den Schwerpunkt Stochastik und ihre Anwendungen (W. Stummer) ergänzt. Die Forschung im Bereich Darstellungstheorie und Operatoralgebren soll auch in Zukunft mehrere natürliche Brennpunkte haben. In der Darstellungstheorie steht die Klassifikation von Symmetrien (Darstellungen) im Vordergrund. Hier liegt der Fokus auf aktuellen Themen, die sich in den letzten Jahren rasant entwickelt haben, wozu Erlangen sowohl in der Forschung als auch durch einschlägige Monographien maßgeblich beigetragen hat: Unendlichdimensionale Symmetrien bzw. Lie-Gruppen mit natürlichen Anwendungen in der Quantenfeldtheorie (K.-H. Neeb), modulare Darstellungstheorie, Quantengruppen und Dualitätstheorie (P. Fiebig), geometrische Aspekte ’nichtkommutativer‘ Symmetrien wie Hopf-Algebren und Quantengruppen (C. Meusburger) sowie der Klassifikation sphärischer Räume und quasihamiltonscher Wirkungen (F. Knop). Im Zusammenhang mit Operatortheorie und Operatoralgebren stehen Anwendungen in mathematischer Quantenphysik im Vordergrund, z.B. Anwendungen der Operatortheorie und K-Theorie auf quantenmechanische Systeme wie topologische Isolatoren und Streusysteme (H. Schulz-Baldes), und Anwendungen von von Neumann Algebren und Unterfaktoren auf Quantenfeldtheorie (G. Lechner).

Forschungsbereich: Stochastik und Optimierung

Im Bereich Stochastik wird die Brücke zwischen Feldern der theoretischen Mathematik, wie der Analysis und der mit den Operatoralgebren eng verbundenen freien Wahrscheinlichkeitstheorie zu angewandten Feldern wie der statistischen Physik und hochdimensionalen Statistik geschlagen. Es werden Zufallsmatrizen, wechselwirkende Teilchensysteme, aperiodisch geordnete Systeme, stochastisch gekoppelte Differentialgleichungen, neuronale Netzwerke und ungeordnete Quantensysteme untersucht (T. Krüger, C. Richard). Diese Systeme werden mit stochastischen, dynamischen, kombinatorischen und funktionalanalytischen Methoden erforscht.
Es besteht ein enger Zusammenhang mit den am Department Data Science angegliederten Bereichen der ‚Optimization under Uncertainty‘ (F. Liers) und ‚Stochastic Methods in Data Science‘.
Als weiteres Anwendungsgebiet kommt die Riskoanalyse (W. Stummer) zum Tragen. Hier werden unter anderem Techniken aus mehreren Teilgebieten der theoretischen Mathematik weiterentwickelt, sowie mit Methoden aus den Bereichen der stochastischen Prozesse, Statistik, Finanzmathematik und Makroökonomie verbunden.

Der Bereich Optimierung wird zusammen mit dem Department Data Science getragen. Er stellt die größte Gruppe seiner Art in Deutschland dar und ist national sowie international erfolgreich. Dabei wird der Bogen von der kombinatorischen und gemischt-ganzzahligen (nicht-)linearen Optimierung (Department Data Science) über die variationelle Optimierung (W. Achtziger) bis hin zur Optimierung und Steuerung mit gewöhnlichen sowie partiellen Differentialgleichungen (M. Stingl) gespannt. Prominente Forschungsthemen sind Optimierungsprobleme über stationären sowie dynamischen Systemen, die sowohl diskreter als auch kontinuierlicher Entscheidungen bedürfen, Optimierungsprobleme auf diskreten Netzwerkstrukturen oder schaltende Systeme von Differentialgleichungen. Diese Forschungsfelder finden Anwendung im Energiesektor, in Transport und Logistik, bei Prozessen, und in den Ingenieurwissenschaften, in deren Fokus unter anderem die Erforschung neuer Materialien mit dem Leitthema vom Prozess zu optimierten Eigenschaften steht. Es existieren somit enge Anknüpfungspunkte zu den neuen FAU-Wissenschaftsschwerpunkten ‚Energiesysteme der Zukunft‘, ‚Neue Materialien und Prozesse‘ und ‚Elektronik, Datenanalytik und digitale Transformation‘ sowie zum Fakultätsforschungsschwerpunkt ‚modelling, simulation, optimization‘. Ein besonderes Merkmal ist die enge Verzahnung zwischen diskreter und kontinuierlicher Optimierung (Department Data Science, M. Stingl), welche 2014 zur erfolgreichen Einwerbung des SFB/TRR 154 ‚Mathematische Modellierung, Simulation und Optimierung am Beispiel von Gasnetzwerken‘ führte. Die erfolgreiche Fortsetzung des TRR 154 steht im Zentrum der kommenden Aktivitäten und es ist geplant, Unsicherheiten noch stärker in den Vordergrund zu rücken sowie Marktaspekte zu integrieren.